Matematyka

Mnożenie sum algebraicznych (nawias przez nawias)

Zespół TestStudio·14 lipca 2026·Zaktualizowano: 29 lipca 2026·7 min czytania

P = πr²

L = 2πr

Matematyka

Mnożenie sum algebraicznych – klasa 8. Opanuj regułę każdy przez każdy i naucz się mnożyć nawias przez nawias bez błędów na E8.

Wzory

i definicje

Przykłady

krok po kroku

Zadania

egzaminacyjne

Mnożenie sum algebraicznych to jedna reguła: każdy przez każdy. Na Egzaminie Ósmoklasisty ta umiejętność jest podstawą — bez niej nie rozwiniesz wyrażeń, nie udowodnisz tożsamości i nie policzysz pola figury z bokami algebraicznymi.

Mnożenie sum algebraicznych – klasa 8 i reguła „każdy przez każdy"

Mnożenie sum algebraicznych to wymnożenie każdego składnika jednej sumy przez każdy składnik drugiej, a następnie dodanie otrzymanych iloczynów (wg Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej — ZPE). Gdy mnożysz dwa nawiasy dwuwyrazowe, powstają zawsze cztery iloczyny:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Po wymnożeniu prawie zawsze trzeba jeszcze zredukować wyrazy podobne, żeby zapisać wynik w najprostszej postaci.

Jak pomnożyć nawias przez nawias krok po kroku?

1
Pomnóż pierwszy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego.
2
Pomnóż drugi wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego.
3
Zapisz wszystkie cztery iloczyny razem, pilnując znaków.
4
Zredukuj wyrazy podobne.

Przykład: Wymnóż $(2 + x)(x - 5)$ .

(2 + x)(x - 5) = 2 \cdot x + 2 \cdot (-5) + x \cdot x + x \cdot (-5)

= 2x - 10 + x^2 - 5x

= x^2 - 3x - 10

Ważne: pilnuj znaków — mnożenie przez wyraz z minusem daje wynik ujemny. To tu ginie najwięcej punktów.

Skąd bierze się reguła „każdy przez każdy"?

To rozszerzone prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Najpierw traktujesz cały drugi nawias jak jedną liczbę i mnożysz przez niego oba wyrazy pierwszego, a potem rozbijasz:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

Ta sama zasada działa dla liczb — dlatego mnożenie „pod kreską" to nic innego jak mnożenie sum:

43 \cdot 12 = (40 + 3)(10 + 2) = 400 + 80 + 30 + 6 = 516

Powiązane, prostsze działania

Zanim zmierzysz się z nawiasem przez nawias, warto mieć w małym palcu trzy prostsze przypadki:

Typ	Reguła	Przykład
Liczba przez sumę	mnożysz liczbę przez każdy wyraz	$3(x + 4) = 3x + 12$
Jednomian przez sumę	mnożysz jednomian przez każdy wyraz	$2x(x - 3) = 2x^2 - 6x$
Suma przez sumę	każdy przez każdy	$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$

Mnożenie a wzory skróconego mnożenia

Regułą „każdy przez każdy" pomnożysz każde dwa nawiasy — także te, które pasują do wzorów skróconego mnożenia. Wzory to tylko skrót:

(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2

Widzisz? Środkowe wyrazy $-ab$ i $+ab$ się znoszą — dlatego różnica kwadratów nie ma członu środkowego. Jeśli zapomnisz wzoru, zawsze możesz wrócić do mnożenia po kolei.

Najczęstsze błędy na E8

Pominięcie iloczynu — przy dwóch nawiasach dwuwyrazowych zawsze muszą powstać cztery iloczyny. Trzy = błąd.
Zły znak — $x \cdot (-5) = -5x$ , a $(-x)(-5) = +5x$ . Minus razy minus daje plus.
Brak redukcji — wynik trzeba doprowadzić do najprostszej postaci; zostawienie $2x - 5x$ zamiast $-3x$ to niepełna odpowiedź.

📌Zapamiętaj

✓Reguła „każdy przez każdy": $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ — cztery iloczyny
✓Po wymnożeniu zawsze redukuj wyrazy podobne
✓Minus przy wyrazie zmienia znak iloczynu; minus razy minus daje plus

💡

Pro tip: Zanim zredukujesz, policz iloczyny — przy mnożeniu dwóch dwuwyrazowych nawiasów musi ich być dokładnie cztery. Jeśli masz trzy, jeden zgubiłeś.

Gotowy sprawdzić to w praktyce?

Testy CKE z wyjaśnieniami, analiza AI i śledzenie postępów — wszystko za darmo przez 7 dni.

Zacznij za darmo Zobacz cennik

Sprawdź się

Zadanie otwarte 1

Zapisz w postaci sumy i uprość: $(x - 4)(2x + 3)$ .

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

💡Pokaż odpowiedź+

Odpowiedź krok po kroku:

Krok 1 — pomnóż każdy przez każdy (cztery iloczyny):

x \cdot 2x + x \cdot 3 + (-4) \cdot 2x + (-4) \cdot 3

Krok 2 — zapisz iloczyny:

2x^2 + 3x - 8x - 12

Krok 3 — zredukuj wyrazy podobne ( $3x - 8x$ ):

2x^2 - 5x - 12

Wynik: $2x^2 - 5x - 12$ .

W TestStudio przećwiczysz mnożenie nawiasów w typie CKE — z podpowiedzią, gdy zgubisz jeden z czterech iloczynów lub pomylisz znak.

🧠 Sprawdź wiedzę

1.Ile wynosi $(x + 3)(x - 2)$ po uproszczeniu

2.Ile iloczynów powstaje przy mnożeniu $(a + b)(c + d)$

3.Ile wynosi $(2x - 1)(x + 4)$

Często zadawane pytania

Ile iloczynów powstaje przy mnożeniu dwóch nawiasów?

Tyle, ile wynosi iloczyn liczby wyrazów w obu nawiasach. Dla dwóch dwuwyrazowych nawiasów to

2 \cdot 2 = 4

iloczyny; dla nawiasu trójwyrazowego i dwuwyrazowego —

3 \cdot 2 = 6

Czy zawsze muszę używać wzorów skróconego mnożenia?

Nie. Wzory przyspieszają liczenie, ale każdy iloczyn nawiasów rozwiążesz też regułą „każdy przez każdy". Jeśli zapomnisz wzoru na egzaminie, po prostu wymnóż po kolei.

Czy mnożenie sum algebraicznych jest na egzaminie ósmoklasisty?

Tak, i to często — samodzielnie („zapisz iloczyn w postaci sumy") oraz jako element zadań z dowodzeniem i geometrią, gdzie boki figur są wyrażeniami algebraicznymi.

Podsumowanie

Mnożenie sum algebraicznych to reguła „każdy przez każdy": mnożysz każdy wyraz przez każdy
Przy dwóch dwuwyrazowych nawiasach powstają zawsze cztery iloczyny
Po wymnożeniu redukujesz wyrazy podobne do najprostszej postaci
Reguła wynika z prawa rozdzielności i działa też dla liczb rozbitych na sumy
Wzory skróconego mnożenia to tylko skrót tego samego mnożenia

← Wróć do bloga