Mediana i średnia arytmetyczna — zadania klasy 8 krok po kroku

Mediana i średnia arytmetyczna to dwa podstawowe mierniki statystyczne, które pojawiają się w każdym arkuszu Egzaminu Ósmoklasisty. Różnią się metodą obliczania i odpornością na wartości skrajne — a w zadaniach CKE każda z nich może być odpowiedzią.

Czym jest mediana?

Mediana to wartość środkowa w szeregu danych ustawionych w kolejności rosnącej. Dokładnie połowa liczb jest od niej mniejsza, a połowa większa.

Kluczowa zasada: zanim wyznaczysz medianę, zawsze porządkuj dane.

Jak obliczyć medianę — dwa przypadki

Liczba danych nieparzysta — mediana to środkowy element.

Dane: $3, 7, 9, 2, 5$ → po posortowaniu: $2, 3, 5, 7, 9$ → 5 liczb → środkowa (3.) → Me = 5

Liczba danych parzysta — mediana to średnia dwóch środkowych elementów.

Dane: $4, 8, 2, 6, 10, 1$ → posortowane: $1, 2, 4, 6, 8, 10$ → środkowe to $4$ i $6$ →

Czym jest średnia arytmetyczna?

Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę:

Przykład: wyniki ucznia w pięciu sprawdzianach: $60, 75, 80, 55, 90$.

Ważne: Nie musisz sortować danych, żeby obliczyć średnią — kolejność nie ma znaczenia.

Mediana kontra średnia — kiedy każda jest lepsza?

Przykład: wynagrodzenia 5 pracowników: $2000, 2100, 2200, 2300, 15000$ zł.

• Średnia: $\frac{23600}{5} = 4720$ zł — zawyżona przez jedną wysoką pensję
• Mediana: $2200$ zł — lepiej opisuje „typowe" wynagrodzenie

W zadaniach statystycznych CKE często pytają, która miara lepiej opisuje dane — znaj tę różnicę.

Mediana z tabeli rozdzielczej

Jeśli dane są podane w tabeli z częstościami, wyznaczasz medianę przez zliczanie elementów.

20 uczniów → mediana to średnia 10. i 11. wartości.

Zliczasz: oceny 2 → 3 uczniów (pozycje 1–3), oceny 3 → 5 uczniów (pozycje 4–8), oceny 4 → 7 uczniów (pozycje 9–15).

Pozycja 10. i 11. obie mieszczą się w grupie ocen 4.

Mediana = 4.

W TestStudio znajdziesz zadania tego formatu z podpowiedziami krok po kroku — możesz trenować wyznaczanie mediany z tabel bez stresu.

Typowe zadania z arkusza CKE

1. Szukanie mediany z podanej listy — porządkujesz, liczysz elementy, wskazujesz środkowy lub obliczasz średnią dwóch środkowych.
2. Szukanie brakującej wartości przy danej medianie — wstawiasz „?" na właściwą pozycję w posortowanym ciągu i odczytujesz wartość.
3. Obliczenie średniej z kontekstem tekstowym — np. „ile punktów musi zdobyć uczeń w ostatnim teście, żeby jego średnia wyniosła co najmniej 70?"

Zadanie z brakującą wartością przy danej medianie

Dane: $3, x, 7, 5, 9$ — mediana wynosi 6. Znajdź $x$.

Posortowane (bez $x$): $3, 5, 7, 9$ — pięć elementów.

Przy 5 elementach mediana to element na pozycji 3.

Po wstawieniu $x$ posortowany ciąg to: $3, 5, x, 7, 9$.

Skoro mediana = 6, element na pozycji 3 musi wynosić 6 → x = 6.

Sprawdź się

Zadanie: Pięciu uczniów uzyskało na egzaminie: $48, 73, 55, 73, 91$ punktów. Oblicz medianę i średnią arytmetyczną tych wyników.

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

Często zadawane pytania

Co to jest dominanta i czy pojawia się na E8?

Dominanta (moda) to wartość, która pojawia się najczęściej. W powyższym przykładzie to 73. Na egzaminie klasy 8 pojawia się rzadziej niż mediana i średnia, ale warto ją znać (dane CKE).

Czy mediana może być równa jednej z podanych liczb?

Tak, przy nieparzystej liczbie danych mediana jest zawsze jedną z podanych liczb. Przy parzystej może wyjść wartość nienależąca do zbioru (np. 5, gdy mamy 4 i 6).

Jak szybko wyznaczyć, która pozycja to mediana?

Dla $n$ elementów: jeśli $n$ nieparzyste, to pozycja $\frac{n+1}{2}$; jeśli parzyste, to pozycje $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2}+1$.

Podsumowanie

• Mediana: środkowa wartość posortowanego szeregu; przy parzystym $n$ to średnia dwóch środkowych
• Średnia arytmetyczna: suma podzielona przez liczbę elementów — kolejność danych nie ma znaczenia
• Mediana jest odporna na wartości skrajne; średnia — podatna
• Z tabeli rozdzielczej: zliczaj pozycje, aż dojdziesz do środka szeregu
• Zadania CKE mogą pytać o brakującą wartość przy danej medianie — wstaw ją na właściwą pozycję