Ułamki okresowe i zamiana na ułamek zwykły

Ułamek okresowy powstaje, gdy przy zamianie ułamka zwykłego na dziesiętny grupa cyfr po przecinku zaczyna się powtarzać w nieskończoność — jak $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$. Powtarzającą się grupę bierzesz w nawias i nazywasz okresem. Na Egzaminie Ósmoklasisty zadania z ułamkami okresowymi sprawdzają, czy potrafisz zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, poprawnie zapisać okres i rozpoznać, kiedy rozwinięcie się kończy.

Ułamek okresowy – zadania i zapis okresu

Ułamek okresowy to ułamek dziesiętny, w którego rozwinięciu — począwszy od pewnego miejsca po przecinku — cyklicznie powtarza się pewna grupa cyfr, zwana okresem (wg ZPE).

Powtarzającą się grupę zapisujesz w nawiasie:

Ważne: w nawias bierzesz najkrótszą powtarzającą się grupę cyfr. $\frac{1}{3}$ zapisujesz jako $0{,}(3)$, a nie $0{,}(333)$ — okresem jest pojedyncza trójka.

Jak zamienić ułamek zwykły na dziesiętny?

Masz dwa sposoby:

1. 1
   Rozszerzanie — gdy mianownik da się rozszerzyć do $10, 100, 1000\ldots$: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$.
2. 2
   Dzielenie pisemne — dzielisz licznik przez mianownik: $\frac{7}{8} = 7 : 8 = 0{,}875$.

Jeśli w dzieleniu pisemnym reszty zaczynają się powtarzać, to znak, że rozwinięcie jest okresowe — np. $\frac{2}{3} = 0{,}(6)$.

Skończone czy okresowe? Rozpoznasz to z mianownika

Nie musisz dzielić, żeby wiedzieć, jaki będzie wynik. Decyduje mianownik ułamka nieskracalnego.

Zasada: ułamek ma rozwinięcie skończone, gdy mianownik ułamka nieskracalnego rozkłada się na czynniki złożone tylko z dwójek i piątek. W przeciwnym razie rozwinięcie jest okresowe.

Uwaga: najpierw skróć ułamek do postaci nieskracalnej, dopiero potem patrz na mianownik.

Zamiana ułamka okresowego na zwykły

To odwrotna operacja — masz ułamek okresowy, chcesz zapisać go jako zwykły. Dla ułamka, w którym okres zaczyna się tuż po przecinku, działa prosta reguła: w liczniku okres, w mianowniku tyle dziewiątek, ile cyfr ma okres.

Ważne: zamiana ułamka okresowego z powrotem na zwykły to materiał rozszerzający — na samym egzaminie ósmoklasisty wymagana jest zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne (także okresowe) oraz skończonych ułamków dziesiętnych na zwykłe. Metodę $10x$ warto jednak znać, bo pojawia się w liceum i w trudniejszych zadaniach konkursowych.

Skąd bierze się metoda 10x?

Regułę „dziewiątek" można wyprowadzić algebraicznie — to warto zrozumieć, a nie zapamiętać na ślepo.

Przykład: Zamień $0{,}(6)$ na ułamek zwykły.

1. 1
   Oznacz $x = 0{,}(6)$, czyli $x = 0{,}6666\ldots$
2. 2
   Pomnóż przez $10$ (okres ma 1 cyfrę): $10x = 6{,}6666\ldots$
3. 3
   Odejmij stronami $10x - x$: $9x = 6$ (części po przecinku się znoszą).
4. 4
   Rozwiąż: $x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Gdy okres ma dwie cyfry, mnożysz przez $100$; gdy trzy — przez $1000$.

Najczęstsze błędy na E8

• Zbyt długi okres w nawiasie — bierzesz najkrótszą grupę cyfr tworzącą okres ułamka ($0{,}(3)$, nie $0{,}(333)$).
• Sprawdzanie mianownika przed skróceniem — najpierw doprowadź ułamek do postaci nieskracalnej.
• Mylenie okresu z częścią przedokresową — w $0{,}1(6)$ okresem jest tylko $6$, cyfra $1$ jest przed okresem.

Sprawdź się

Zadanie otwarte 1

Zamień ułamek okresowy $0{,}(24)$ na ułamek zwykły w postaci nieskracalnej.

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

W TestStudio przećwiczysz zamianę ułamków i rozpoznawanie rozwinięć okresowych w typie CKE — z natychmiastowym sprawdzeniem każdego kroku.

Podsumowanie

• Ułamek dziesiętny jest okresowy, gdy po przecinku cyklicznie powtarza się pewna grupa cyfr — zwana okresem — zapisywana w nawiasie zawsze w najkrótszej postaci
• Rozpoznasz to z mianownika nieskracalnego: jeśli ma on inny czynnik pierwszy niż 2 lub 5, rozwinięcie będzie okresowe
• Aby zamienić ułamek okresowy na zwykły, stosuj metodę $10x$: oznacz go jako $x$, pomnóż obie strony przez $10^k$ (gdzie $k$ to liczba cyfr okresu) i odejmij stronami — wynik skracasz
• Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe — rozwinięcia nieokresowe mają wyłącznie liczby niewymierne