Matematyka

Twierdzenie Pitagorasa w prostokącie i kwadracie

Zespół TestStudio·17 kwietnia 2026·7 min czytania

P = πr²

L = 2πr

Matematyka

Twierdzenie Pitagorasa zadania prostokąt — wzór, trójki pitagorejskie i przykłady z E8. Obliczanie przekątnej prostokąta i kwadratu krok po kroku.

Wzory

i definicje

Przykłady

krok po kroku

Zadania

egzaminacyjne

Twierdzenie Pitagorasa to jedno z najczęściej testowanych twierdzeń na Egzaminie Ósmoklasisty — pojawia się samodzielnie, ale też jako krok pośredni w zadaniach z polem, objętością i geometrią analityczną. Jeden wzór, opanowany do perfekcji, otwiera dziesiątki zadań.

Twierdzenie Pitagorasa — wzór i warunek

Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości dwóch przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej:

a^2 + b^2 = c^2

gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne (ramiona przy kącie prostym), a $c$ to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciwko kąta prostego).

Ważne: Twierdzenie działa wyłącznie w trójkącie prostokątnym. Zanim zastosujesz wzór, upewnij się, że w zadaniu jest mowa o kącie prostym lub o prostokącie/kwadracie.

Jak znaleźć brakujący bok trójkąta?

Szukasz przeciwprostokątnej $c$

Dane: $a = 3$ cm, $b = 4$ cm. Znajdź $c$ .

c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

c = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

To trójka pitagorejska $(3, 4, 5)$ — jedna z tych, które warto znać na pamięć.

Szukasz przyprostokątnej $a$

Dane: $c = 13$ cm, $b = 5$ cm. Znajdź $a$ .

a^2 = c^2 - b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

a = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}

To trójka $(5, 12, 13)$ — kolejna, którą warto zapamiętać.

Trójki pitagorejskie — nie licz, rozpoznaj

Trójki pitagorejskie to zestawy liczb całkowitych spełniające $a^2 + b^2 = c^2$ . Jeśli je rozpoznasz, oszczędzasz czas na egzaminie:

Trójka	Wielokrotności
$(3, 4, 5)$	$(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$
$(5, 12, 13)$	$(10, 24, 26)$
$(8, 15, 17)$	—
$(7, 24, 25)$	—

Ważne: Wielokrotności też są trójkami pitagorejskimi. Jeśli widzisz boki $6, 8, ?$ — od razu wiesz, że brakujący bok to $10$ .

Przekątna prostokąta — twierdzenie Pitagorasa zadania prostokąt

Prostokąt z bokami $a$ i $b$ ma przekątną $d$ . Ponieważ przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, możesz od razu użyć wzoru:

d = \sqrt{a^2 + b^2}

Przykład z arkusza CKE: Prostokąt ma wymiary 5 cm × 12 cm. Oblicz długość jego przekątnej.

d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}

Przekątna kwadratu

W kwadracie o boku $a$ oba boki trójkąta są równe, więc:

d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}

Przykład: kwadrat o boku $a = 6$ cm.

d = 6\sqrt{2} \approx 6 \cdot 1{,}414 = 8{,}485 \text{ cm}

Wynik $a\sqrt{2}$ możesz zostawić w postaci dokładnej — na egzaminie CKE jest to dopuszczalne i często wymagane.

Zastosowania poza trójkątem

Twierdzenie Pitagorasa pojawia się też w zadaniach, które wprost nie mówią o trójkącie:

Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie — punkty $A(1, 2)$ i $B(4, 6)$ :

|AB| = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Wysokość trójkąta równoramiennego — rama trójkąta o ramionach $r = 10$ cm i podstawie $2p = 12$ cm:

h = \sqrt{r^2 - p^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}

Przekrój graniastosłupa — obliczanie długości przekątnej przestrzennej prostopadłościanu to dwukrotne użycie Pitagorasa.

Najczęstsze błędy

Sumowanie boków zamiast ich kwadratów (np. $3 + 4 = 7$ zamiast $\sqrt{9+16}=5$ )
Stosowanie wzoru do trójkąta, który nie jest prostokątny
Nieodejmowanie przy szukaniu przyprostokątnej — wzór to $a^2 = c^2 - b^2$ , nie $c^2 + b^2$
Zostawianie $\sqrt{25}$ zamiast obliczenia $5$ — zawsze upraszczaj pierwiastek, jeśli wynik jest liczbą całkowitą

📌Zapamiętaj

✓Wzór: $a^2 + b^2 = c^2$ , gdzie $c$ to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciwko kąta prostego)
✓Trójki pitagorejskie warte pamięci: $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ — i ich wielokrotności
✓Szukając przyprostokątnej: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ ; sprawdź czy $c$ jest rzeczywiście największą wartością

💡

Pro tip: Naucz się trójkę

(3, 4, 5)

i wielokrotności

(6, 8, 10)

(9, 12, 15)

— gdy boki należą do tej rodziny, wynik jest całkowity i pomijasz obliczanie pierwiastka.

Gotowy sprawdzić to w praktyce?

Testy CKE z wyjaśnieniami, analiza AI i śledzenie postępów — wszystko za darmo przez 7 dni.

Zacznij za darmo Zobacz cennik

Sprawdź się

Zadanie: Prostokąt ma pole $60 \text{ cm}^2$ i jeden bok długości $6$ cm. Oblicz długość przekątnej.

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

💡Pokaż odpowiedź+

Odpowiedź: Drugi bok: $b = \frac{60}{6} = 10$ cm. Przekątna: $d = \sqrt{6^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} \approx 11{,}66$ cm.

🧠 Sprawdź wiedzę

1.W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $a = 3$ cm i $b = 4$ cm. Przeciwprostokątna $c$ wynosi

2.Przekątna kwadratu o boku $a = 5$ cm wynosi

3.W trójkącie prostokątnym $c = 13$ cm i $a = 5$ cm. Druga przyprostokątna $b$ wynosi

Często zadawane pytania

Jak zapamiętać, która wartość to przeciwprostokątna?

Przeciwprostokątna leży naprzeciwko kąta prostego i jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego. W zadaniu jest oznaczana jako $c$ lub podana jako "przekątna".

Czy twierdzenie Pitagorasa działa dla liczb niecałkowitych?

Tak. Wzór $a^2 + b^2 = c^2$ obowiązuje dla wszystkich liczb rzeczywistych, nie tylko całkowitych. Wynik $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ czy $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ są pełnoprawnymi odpowiedziami.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Obliczasz $a^2 + b^2$ i $c^2$ , gdzie $c$ jest najdłuższym bokiem. Jeśli są równe — trójkąt jest prostokątny. TestStudio zawiera zadania tego typu z automatyczną weryfikacją kroku.

Podsumowanie

Wzór: $a^2 + b^2 = c^2$ , gdzie $c$ to przeciwprostokątna (najdłuższy bok)
Szukanie $c$ : $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; szukanie $a$ : $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
Przekątna prostokąta: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; przekątna kwadratu: $d = a\sqrt{2}$
Trójki pitagorejskie do pamięci: $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$
Wzór stosuje się też do odległości punktów na płaszczyźnie i wysokości trójkąta równoramiennego