Graniastosłup prawidłowy czworokątny – wzory, objętość i zadania E8

Graniastosłup prawidłowy to bryła, której podstawy są przystającymi wielokątami foremnymi, a ściany boczne są prostokątami. Na Egzaminie Ósmoklasisty najczęściej pojawia się graniastosłup prawidłowy czworokątny (podstawa kwadrat) — pytania dotyczą objętości, pola powierzchni całkowitej i przekątnej przestrzennej.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Podstawą jest kwadrat o boku $a$, wysokość bryły to $h$.

Objętość

Objętość = pole podstawy × wysokość:

Pole powierzchni całkowitej

Graniastosłup ma dwie podstawy (kwadraty) i cztery ściany boczne (prostokąty $a \times h$):

Przekątna ściany bocznej

Ściana boczna to prostokąt $a \times h$. Jej przekątna:

Przekątna przestrzenna bryły

Przekątna przestrzenna (bryłowa) łączy dwa przeciwległe wierzchołki bryły. Używa się twierdzenia Pitagorasa dwukrotnie: najpierw do przekątnej podstawy, potem do przekątnej bryły.

Przekątna podstawy (kwadratu o boku $a$):

Przekątna przestrzenna:

Przykład kompletny — graniastosłup czworokątny

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy $a = 6$ cm i wysokość $h = 8$ cm. Oblicz: objętość, pole powierzchni całkowitej i przekątną przestrzenną.

Krok 1 — objętość:

Krok 2 — pole powierzchni:

Krok 3 — przekątna przestrzenna:

Zadania odwrócone – gdy znasz objętość lub pole

Na E8 zadanie często podaje $V$ lub $P_c$ i prosi o wyznaczenie $a$ albo $h$. Wystarczy przepisać znany wzór i wyizolować szukaną wielkość.

Przykład A — dana objętość, szukany bok $a$

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma objętość $V = 500$ cm³ i wysokość $h = 20$ cm. Oblicz bok podstawy $a$.

Krok 1 — z wzoru $V = a^2 \cdot h$ wyznaczamy $a^2$:

Krok 2 — wyciągamy pierwiastek:

Przykład B — dane pole całkowite, szukana wysokość $h$

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma pole powierzchni całkowitej $P_c = 96$ cm² i bok podstawy $a = 4$ cm. Oblicz wysokość $h$.

Krok 1 — podstawiamy do wzoru $P_c = 2a^2 + 4ah$:

Krok 2 — rozwiązujemy równanie:

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Wzory i zadania dla graniastosłupa trójkątnego znajdziesz w artykule Pole graniastosłupa – zadania i wzory.

Tabela wzorów — graniastosłup czworokątny

W TestStudio możesz ćwiczyć zadania z graniastosłupami z rysunkiem bryły — platforma zaznacza, który odcinek to $a$, $h$ i $d$.

Najczęstsze błędy

• Zapomnienie o obu podstawach w polu całkowitym — $P_c = P_b + \mathbf{2}P_p$, nie $P_b + P_p$
• Mylenie przekątnej ściany z przekątną przestrzenną — do przekątnej przestrzennej potrzebujesz przekątnej podstawy $a\sqrt{2}$, nie samego $a$
• Pomylenie obliczeń dla graniastosłupa z ostrosłupem — graniastosłup: $V = P_p \cdot h$ (bez $\frac{1}{3}$); ostrosłup: $V = \frac{1}{3} P_p h$
• Błędne jednostki — objętość w $\text{cm}^3$, pola w $\text{cm}^2$

Sprawdź się

Zadanie: Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma bok podstawy $a = 5$ cm i wysokość $h = 12$ cm. Oblicz objętość, pole powierzchni całkowitej i przekątną przestrzenną.

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

Często zadawane pytania

Jaka jest różnica między graniastosłupem prawidłowym a prostopadłościanem?

Prostopadłościan to graniastosłup prostokątny (podstawa prostokąt, nie kwadrat). Graniastosłup prawidłowy czworokątny to szczególny przypadek prostopadłościanu, gdzie podstawa jest kwadratem. Wzory na objętość i pole działają tak samo: $V = P_p \cdot h$.

Czy wzory z tabeli działają dla graniastosłupów sześciokątnych?

Zasada jest ta sama: $V = P_p \cdot h$ i $P_c = 2P_p + P_b$. Pole podstawy sześciokąta foremnego o boku $a$ wynosi $\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$ — ale graniastosłupy sześciokątne pojawiają się na E8 rzadko i treść zawsze podaje potrzebne dane.

Podsumowanie

• Graniastosłup prawidłowy: dwie przystające podstawy (wielokąt foremny), prostokątne ściany boczne
• Czworokątny ($a$, $h$): $V = a^2h$; $P_c = 2a^2+4ah$; $d = \sqrt{2a^2+h^2}$
• Klucz: graniastosłup bez $\frac{1}{3}$; ostrosłup z $\frac{1}{3}$ — nie mylić