Matematyka

Liczby pierwsze i złożone – zadania egzaminacyjne

Q: Ile jest liczb pierwszych parzystych?

Dokładnie jedna — liczba $2$. Każda inna liczba parzysta dzieli się przez $2$, więc ma więcej niż dwa dzielniki i jest złożona.

Zespół TestStudio·14 lipca 2026·Zaktualizowano: 29 lipca 2026·7 min czytania

P = πr²

L = 2πr

Matematyka

Liczby pierwsze i złożone – zadania egzaminacyjne

Liczby pierwsze i złożone – zadania. Poznaj definicje, dowiedz się, czemu 1 nie jest pierwsza, i naucz się rozkładu na czynniki pierwsze.

Wzory

i definicje

Przykłady

krok po kroku

Zadania

egzaminacyjne

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie. Liczba złożona ma ich więcej. To rozróżnienie jest podstawą rozkładu na czynniki pierwsze, a ten z kolei przydaje się na E8 przy skracaniu ułamków oraz wyznaczaniu NWD i NWW. Zadania z liczbami pierwszymi i złożonymi pojawiają się jako zadania zamknięte i jako element większych obliczeń.

Liczby pierwsze i złożone – zadania i definicje

Każda liczba naturalna większa od $1$ jest albo pierwsza, albo złożona.

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie. Przykłady: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$ .
Liczba złożona to liczba naturalna, która ma więcej niż dwa dzielniki — można ją zapisać jako iloczyn liczb pierwszych. Przykłady: $4, 6, 8, 9, 12, 20$ .

Liczba	Dzielniki	Rodzaj
$7$	$1, 7$	pierwsza
$12$	$1, 2, 3, 4, 6, 12$	złożona
$2$	$1, 2$	pierwsza (jedyna parzysta!)
$1$	$1$	ani pierwsza, ani złożona

Ważne: $2$ to jedyna parzysta liczba pierwsza — każda inna liczba parzysta dzieli się przez $2$ , więc ma co najmniej trzy dzielniki i jest złożona.

Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą?

Ponieważ ma tylko jeden dzielnik — samą siebie. Definicja liczby pierwszej wymaga dokładnie dwóch dzielników, więc $1$ jej nie spełnia. Nie jest też złożona (nie ma więcej niż dwóch dzielników). Liczba $1$ stoi więc osobno.

Jest jeszcze głębszy powód: wykluczenie $1$ zapewnia jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze — gdyby $1$ była pierwsza, można by ją dopisywać w nieskończoność ( $6 = 2\cdot 3 = 1 \cdot 2 \cdot 3 = \ldots$ ).

Rozkład na czynniki pierwsze krok po kroku

Rozkład na czynniki pierwsze to zapisanie liczby złożonej jako iloczynu samych liczb pierwszych. Wykonujesz go, dzieląc liczbę przez kolejne liczby pierwsze, aż zostanie $1$ .

Przykład: Rozłóż liczbę $72$ na czynniki pierwsze.

1
$72 : 2 = 36$
2
$36 : 2 = 18$
3
$18 : 2 = 9$
4
$9 : 3 = 3$
5
$3 : 3 = 1$

Zapisujesz wynik jako iloczyn i zwijasz do potęg:

72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2

Przykład: Rozłóż $228$ .

228 : 2 = 114,\quad 114 : 2 = 57,\quad 57 : 3 = 19,\quad 19 : 19 = 1

228 = 2^2 \cdot 3 \cdot 19

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza?

Wystarczy sprawdzić podzielność przez kolejne liczby pierwsze: $2, 3, 5, 7, \ldots$ aż do pierwiastka z tej liczby. Jeśli żadna nie dzieli — liczba jest pierwsza.

Do czego przydaje się rozkład na czynniki?

Skracanie ułamków — rozkładasz licznik i mianownik, skreślasz wspólne czynniki.
NWD i NWW — z rozkładów odczytujesz wspólne i wszystkie czynniki.
Sprawdzanie, czy liczba jest kwadratem lub sześcianem — po rozkładzie patrzysz na wykładniki potęg.

Najczęstsze błędy na E8

Uznawanie 1 za liczbę pierwszą — nie jest ani pierwsza, ani złożona.
Zapominanie, że 2 jest liczbą pierwszą — parzysta, ale ma tylko dwa dzielniki.
Niedokończony rozkład — zostawienie liczby złożonej wśród czynników (np. $12 = 4 \cdot 3$ zamiast $2^2 \cdot 3$ ).

📌Zapamiętaj

✓Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki; liczba złożona — więcej niż dwa
✓ $1$ nie jest ani pierwsza, ani złożona; $2$ to jedyna parzysta liczba pierwsza
✓Rozkład na czynniki pierwsze zapisujesz w postaci iloczynu liczb pierwszych, np. $72 = 2^3 \cdot 3^2$

💡

Pro tip: Sprawdzając, czy liczba jest pierwsza, testuj dzielniki tylko do jej pierwiastka — dla

97

wystarczy sprawdzić

2, 3, 5, 7

, bo

7^2 = 49 < 97 < 121 = 11^2

Gotowy sprawdzić to w praktyce?

Testy CKE z wyjaśnieniami, analiza AI i śledzenie postępów — wszystko za darmo przez 7 dni.

Zacznij za darmo Zobacz cennik

Sprawdź się

Zadanie otwarte 1

Rozłóż liczbę $180$ na czynniki pierwsze i zapisz wynik w postaci potęg.

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

💡Pokaż odpowiedź+

Odpowiedź krok po kroku:

Krok 1 — dziel przez kolejne liczby pierwsze:

180 : 2 = 90,\quad 90 : 2 = 45,\quad 45 : 3 = 15,\quad 15 : 3 = 5,\quad 5 : 5 = 1

Krok 2 — zapisz iloczyn:

180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Krok 3 — zwiń do potęg:

180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5

Wynik: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

W TestStudio znajdziesz zadania z rozkładu na czynniki i liczb pierwszych w typie CKE — z natychmiastowym sprawdzeniem, czy rozkład jest kompletny.

🧠 Sprawdź wiedzę

1.Która z liczb jest liczbą pierwszą

2.Jaki jest rozkład liczby $60$ na czynniki pierwsze

3.Ile dzielników ma liczba pierwsza

Często zadawane pytania

Czy 0 i 1 są liczbami pierwszymi?

Nie. Liczby pierwsze i złożone rozpatrujemy wyłącznie wśród liczb naturalnych większych od

1

. Zarówno

0

, jak i

1

nie należą do żadnej z tych grup.

Ile jest liczb pierwszych parzystych?

Dokładnie jedna — liczba

2

. Każda inna liczba parzysta dzieli się przez

2

, więc ma więcej niż dwa dzielniki i jest złożona.

Po co rozkłada się liczby na czynniki pierwsze?

Rozkład przydaje się do skracania ułamków oraz wyznaczania NWD i NWW. Dzięki niemu widzisz „budowę" liczby i jej wszystkie dzielniki.

Podsumowanie

Na egzaminie E8 musisz sprawnie rozróżniać liczby pierwsze (dokładnie dwa dzielniki) od złożonych (więcej niż dwa), pamiętając, że $1$ nie należy do żadnej grupy, a $2$ to jedyna parzysta pierwsza. Gdy potrzebujesz ocenić pierwszość liczby, testuj dzielniki tylko do jej pierwiastka — to znacznie skraca obliczenia. Rozkład na czynniki pierwsze łączy obie umiejętności i bezpośrednio przydaje się przy skracaniu ułamków oraz wyznaczaniu NWD i NWW.

← Wróć do bloga