Notacja wykładnicza — jak ją czytać, zapisywać i stosować na E8

Notacja wykładnicza to skrócony zapis bardzo dużych lub bardzo małych liczb — $a \times 10^n$, gdzie $1 \leq a < 10$ i $n$ jest całkowite. W arkuszach Egzaminu Ósmoklasisty pojawia się regularnie, a opanowanie jej zajmuje dosłownie kilkanaście minut.

Czym jest notacja wykładnicza?

Notacja wykładnicza (zwana też postacią wykładniczą lub standardową) to zapis liczby w postaci:

gdzie $a$ to cyfra znacząca — liczba z zakresu $1 \leq a < 10$ — a $n$ to liczba całkowita (wykładnik dziesiątki).

Kilka przykładów, żeby to zobaczyć od razu:

Jak rozpoznać, że notacja jest poprawna?

Część $a$ musi być mniejsza niż 10 i co najmniej równa 1. Jeśli widzisz $31 \times 10^3$, to zapis jest niepoprawny — trzeba go zamienić na $3{,}1 \times 10^4$.

Jak zamieniać liczbę na notację wykładniczą?

Metoda jest prosta: przesuń przecinek dziesiętny tak, żeby przed nim była dokładnie jedna cyfra niezerowa. Liczba przesunięć to wykładnik $n$ — dodatni, gdy przecinek szedł w lewo; ujemny, gdy w prawo.

Przykład dla dużej liczby

Zamień $\mathbf{47\,300\,000}$ na notację wykładniczą.

1. Stawiasz przecinek za cyfrą $4$: $4{,}73$
2. Policzyłeś przesunięcia: 7 miejsc w lewo → $n = 7$
3. Wynik: $4{,}73 \times 10^7$

Przykład dla małej liczby

Zamień $\mathbf{0{,}000\,046}$ na notację wykładniczą.

1. Stawiasz przecinek za cyfrą $4$: $4{,}6$
2. Przecinek wędrował 5 miejsc w prawo → $n = -5$
3. Wynik: $4{,}6 \times 10^{-5}$

Jak zamieniać notację wykładniczą z powrotem na liczbę?

Zasada odwrotna: patrzysz na wykładnik i przesuwasz przecinek.

• Wykładnik dodatni → przesuwasz przecinek w prawo (liczba rośnie)
• Wykładnik ujemny → przesuwasz przecinek w lewo (liczba maleje)

Przykład: $2{,}56 \times 10^4$

Przesuwasz przecinek 4 miejsca w prawo: $2{,}56 \to 25600$.

Działania na liczbach w notacji wykładniczej

Na egzaminie możesz spotkać mnożenie lub dzielenie liczb w postaci wykładniczej.

Mnożenie

Przykład:

Jeśli wynik $a \cdot b \geq 10$, przenoś do wykładnika: $12 \times 10^5 = 1{,}2 \times 10^6$.

Dzielenie

Przykład:

Typowe zadanie z arkusza CKE

Zadanie z próbnego egzaminu: Masa elektronu wynosi około $9{,}11 \times 10^{-31}$ kg. Ile razy masa elektronu jest mniejsza od $1$ kg?

W TestStudio znajdziesz zadania tego formatu posortowane według trudności, z rozkładem na kroki.

Najczęstsze błędy

• Zostawienie $a \geq 10$ lub $a < 1$ w wyniku końcowym
• Zły znak wykładnika — mylenie kierunku przesunięcia przecinka
• Dodawanie zamiast mnożenia wykładników przy mnożeniu potęg dziesiątki

Sprawdź się

Zadanie: Zamień $0{,}000\,000\,52$ na notację wykładniczą.

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

Często zadawane pytania

Czy notacja wykładnicza pojawia się na każdym egzaminie E8?

Tak, od 2019 roku zadanie z notacją wykładniczą lub potęgami o wykładniku całkowitym jest obecne w każdym arkuszu CKE. Zwykle za 1–2 punkty (dane CKE).

Co zrobić, jeśli wynik mnożenia daje $a \geq 10$?

Przeniesiesz jedną dziesiątkę do wykładnika: jeśli $a \cdot b = 15$, zapisujesz $1{,}5 \times 10^1$, więc cały wynik dostaje o 1 wyższy wykładnik.

Czy można pomijać zapis „× 10ⁿ", gdy $n = 0$?

Tak — $10^0 = 1$, więc $a \times 10^0 = a$. Zapis $10^0$ jest poprawny, ale zbędny; wystarczy sama liczba $a$.

Podsumowanie

• Notacja wykładnicza: $a \times 10^n$, gdzie $1 \leq a < 10$ i $n \in \mathbb{Z}$
• Duże liczby → wykładnik dodatni; małe (ułamki) → wykładnik ujemny
• Zamiana: przesuń przecinek tak, by przed nim była dokładnie jedna cyfra niezerowa — liczba przesunięć to $|n|$
• Mnożenie: mnóż $a$-iki i dodaj wykładniki; dzielenie: dziel $a$-iki i odejmij wykładniki
• Jeśli wynik $a \geq 10$ — popraw go, przenosząc jedną dziesiątkę do wykładnika