Siatki graniastosłupów i ostrosłupów – jak rozpoznać?

Siatkę bryły rozpoznasz po jednej rzeczy: jakie figury tworzą jej ściany boczne. Prostokąty łączące dwie identyczne podstawy oznaczają graniastosłup prosty (i to właśnie takie pojawiają się na E8), a trójkąty zbiegające się w jednym wierzchołku — ostrosłup. Zadania z siatek brył pojawiają się na Egzaminie Ósmoklasisty jako zadania zamknięte (dopasuj siatkę do bryły) i jako wstęp do liczenia pola powierzchni.

Siatki brył – zadania i szybkie rozpoznawanie

Siatka bryły to jej powierzchnia rozłożona na płasko — wszystkie ściany bryły przedstawione na płaszczyźnie tak, by dało się je z powrotem skleić w tę bryłę (według Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej, ZPE). Siatka jest podstawą liczenia pola powierzchni, bo pokazuje wszystkie ściany naraz.

Prosta zasada rozpoznawania:

Ważne: ta sama bryła może mieć wiele poprawnych siatek — sam sześcian ma ich aż 11. Dlatego nie uczysz się siatek „na pamięć", tylko rozpoznajesz je po rodzaju ścian.

Jak wygląda siatka graniastosłupa?

Graniastosłup ma dwie przystające podstawy (górną i dolną) połączone prostokątnymi ścianami bocznymi.

Charakterystyczne siatki:

• trzy przystające prostokąty + dwa trójkąty równoboczne → graniastosłup prawidłowy trójkątny
• sześć przystających kwadratów → sześcian
• dwa sześciokąty + sześć prostokątów → graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Liczba prostokątnych ścian bocznych jest zawsze równa liczbie boków podstawy: trójkątna podstawa → 3 prostokąty, sześciokątna → 6 prostokątów.

Jak wygląda siatka ostrosłupa?

Ostrosłup ma jedną podstawę (wielokąt) i ściany boczne w kształcie trójkątów, które schodzą się w jednym wierzchołku.

Charakterystyczne siatki:

• kwadrat + cztery przystające trójkąty równoramienne → ostrosłup prawidłowy czworokątny
• cztery przystające trójkąty równoboczne → czworościan foremny (ostrosłup trójkątny)

Liczba trójkątnych ścian bocznych jest równa liczbie boków podstawy.

Jak w sekundę odróżnić graniastosłup od ostrosłupa?

Popatrz na ściany boczne i policz podstawy:

1. 1
   Dwie identyczne podstawy + prostokąty → graniastosłup.
2. 2
   Jedna podstawa + same trójkąty dookoła → ostrosłup.
3. 3
   Jeśli wszystkie ściany to trójkąty, a nie ma drugiej podstawy — to na pewno ostrosłup.

Ściany, wierzchołki i krawędzie

W zadaniach często trzeba policzyć elementy bryły z jej siatki. Dla graniastosłupa o podstawie $n$-kątnej:

• liczba ścian: $n + 2$ (dwie podstawy + $n$ prostokątów)
• liczba wierzchołków: $2n$
• liczba krawędzi: $3n$

Dla ostrosłupa o podstawie $n$-kątnej:

• liczba ścian: $n + 1$ (podstawa + $n$ trójkątów)
• liczba wierzchołków: $n + 1$
• liczba krawędzi: $2n$

Najczęstsze błędy na E8

• Mylenie prostokątów z trójkątami — prostokąt boczny = graniastosłup, trójkąt boczny = ostrosłup.
• Zapominanie o drugiej podstawie w graniastosłupie — graniastosłup ma zawsze dwie.
• Uznanie, że bryła ma jedną siatkę — poprawnych siatek jest zwykle wiele.

Sprawdź się

Zadanie otwarte 1

Siatka pewnej bryły składa się z jednego kwadratu i czterech przystających trójkątów równoramiennych. Jaka to bryła? Ile ma ścian, wierzchołków i krawędzi?

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

W TestStudio przećwiczysz rozpoznawanie siatek brył w formacie CKE — z podpowiedzią, po jakich figurach poznasz graniastosłup, a po jakich ostrosłup.

Podsumowanie

• Siatka to powierzchnia bryły rozłożona na płasko — służy do liczenia pola powierzchni
• Prostokąty między dwiema podstawami oznaczają graniastosłup
• Trójkąty wokół jednej podstawy oznaczają ostrosłup
• Liczba ścian bocznych równa się liczbie boków podstawy
• Jedna bryła ma wiele poprawnych siatek (sześcian — 11)