Matematyka

Układ współrzędnych – odległość i środek odcinka

Q: Jak obliczyć odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych?

Podstaw współrzędne do wzoru $\lvert AB \rvert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. To ta sama idea co twierdzenie Pitagorasa — różnice współrzędnych to przyprostokątne, a odcinek to przeciwprostokątna.

Q: Co, gdy pierwiastek nie jest liczbą całkowitą?

Zostaw wynik w postaci pierwiastka, np. $\sqrt{13}$, chyba że zadanie prosi o przybliżenie. Wynik $\sqrt{13}$ jest poprawną, dokładną odpowiedzią.

Zespół TestStudio·14 lipca 2026·Zaktualizowano: 29 lipca 2026·8 min czytania

P = πr²

L = 2πr

Matematyka

Układ współrzędnych – odległość i środek odcinka

Układ współrzędnych – zadania z długości i środka odcinka. Poznaj dwa wzory, które dają pewne punkty na egzaminie ósmoklasisty.

Wzory

i definicje

Przykłady

krok po kroku

Zadania

egzaminacyjne

W układzie współrzędnych dwa wzory rozwiązują większość zadań: długość odcinka liczysz z twierdzenia Pitagorasa, a środek odcinka — jako średnią współrzędnych końców. Zadania z układu współrzędnych pojawiają się na E8 co roku, zwykle przy obliczaniu obwodu figury, sprawdzaniu, czy trójkąt jest równoramienny, albo wyznaczaniu brakującego punktu.

Układ współrzędnych – zadania z długości i środka odcinka

Układ współrzędnych to dwie prostopadłe osie liczbowe (pozioma $Ox$ i pionowa $Oy$ ) przecinające się w punkcie $(0, 0)$ . Każdy punkt opisujesz parą liczb $(x, y)$ — pierwsza mówi, ile w prawo/lewo, druga ile w górę/dół.

Dwa wzory, które musisz znać:

Co liczysz	Wzór	Wynik to
Długość odcinka $AB$	$\lvert AB \rvert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$	liczba (długość)
Środek odcinka $AB$	$S = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$	punkt (para liczb)

Ważne: długość odcinka to jedna liczba, a środek odcinka to para współrzędnych — pomylenie tych dwóch odpowiedzi to najczęstszy błąd na E8.

Jak obliczyć długość odcinka w układzie współrzędnych?

Wzór na długość odcinka wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa. Odcinek $AB$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne są równoległe do osi. Na E8 najważniejsza jest właśnie ta metoda — jeśli zapomnisz gotowego wzoru, zawsze możesz dorysować trójkąt na kratkach i policzyć długość Pitagorasem.

1
Oblicz różnicę współrzędnych $x$ : $x_B - x_A$ (to długość poziomej przyprostokątnej).
2
Oblicz różnicę współrzędnych $y$ : $y_B - y_A$ (pionowa przyprostokątna).
3
Podnieś obie różnice do kwadratu i dodaj.
4
Wyciągnij pierwiastek — to długość odcinka.

Przykład: Oblicz długość odcinka $AB$ , gdzie $A = (3, -1)$ i $B = (7, 2)$ .

\lvert AB \rvert = \sqrt{(7-3)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Uwaga na znaki — różnica $2 - (-1) = 3$ , a nie $1$ . Po podniesieniu do kwadratu znak i tak znika, ale różnicę trzeba policzyć poprawnie.

Jak wyznaczyć środek odcinka?

Środek odcinka to po prostu średnia arytmetyczna współrzędnych jego końców — osobno dla $x$ , osobno dla $y$ .

Przykład: Znajdź środek odcinka o końcach $A = (-2, 4)$ i $B = (6, 10)$ .

S = \left(\frac{-2 + 6}{2},\ \frac{4 + 10}{2}\right) = \left(\frac{4}{2},\ \frac{14}{2}\right) = (2, 7)

Jak wyznaczyć brakujący koniec odcinka?

Częsty typ zadania: znasz jeden koniec i środek, szukasz drugiego końca. Korzystasz z tego samego wzoru, tylko rozwiązujesz równanie.

Przykład: Punkt $S = (2, -5)$ jest środkiem odcinka $AB$ , gdzie $A = (-4, 3)$ . Wyznacz $B = (x_B, y_B)$ .

1
Dla współrzędnej $x$ : $\dfrac{-4 + x_B}{2} = 2$ , więc $-4 + x_B = 4$ , czyli $x_B = 8$ .
2
Dla współrzędnej $y$ : $\dfrac{3 + y_B}{2} = -5$ , więc $3 + y_B = -10$ , czyli $y_B = -13$ .
3
Wynik: $B = (8, -13)$ .

Do czego przydają się te wzory?

Obwód figury — liczysz długości wszystkich boków i dodajesz.
Sprawdzenie, czy trójkąt jest równoramienny — porównujesz długości boków.
Środek przekątnych — w prostokącie i równoległoboku przekątne przecinają się w swoich środkach, więc środek jednej przekątnej to środek drugiej.
Środkowa trójkąta — łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.

📌Zapamiętaj

✓Długość odcinka: $\lvert AB \rvert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ — to twierdzenie Pitagorasa
✓Środek odcinka: $S = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ — średnia współrzędnych końców
✓Długość to jedna liczba, środek to para współrzędnych — nie pomyl formatu odpowiedzi

💡

Pro tip: Pilnuj odejmowania liczb ujemnych:

y_B - y_A = 2 - (-1) = 3

. Błąd znaku przy różnicy to najczęstsza przyczyna złej długości odcinka.

Gotowy sprawdzić to w praktyce?

Testy CKE z wyjaśnieniami, analiza AI i śledzenie postępów — wszystko za darmo przez 7 dni.

Zacznij za darmo Zobacz cennik

Sprawdź się

Zadanie otwarte 1

Dane są punkty $A = (1, 2)$ i $B = (5, 5)$ . Oblicz długość odcinka $AB$ oraz współrzędne jego środka $S$ .

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

💡Pokaż odpowiedź+

Odpowiedź krok po kroku:

Krok 1 — długość odcinka:

\lvert AB \rvert = \sqrt{(5-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5

Krok 2 — środek odcinka:

S = \left(\frac{1+5}{2},\ \frac{2+5}{2}\right) = \left(3,\ 3{,}5\right)

Wynik: $\lvert AB \rvert = 5$ , $S = (3,\ 3{,}5)$ .

W TestStudio znajdziesz zadania z układu współrzędnych w typie CKE — z automatycznym sprawdzeniem, czy poprawnie podstawiłeś współrzędne do wzoru.

🧠 Sprawdź wiedzę

1.Jaka jest długość odcinka o końcach $A = (0, 0)$ i $B = (6, 8)$

2.Jaki jest środek odcinka o końcach $A = (-3, 5)$ i $B = (7, 1)$

3.Punkt $S = (4, 0)$ jest środkiem odcinka $AB$ , gdzie $A = (1, -2)$ . Jakie są współrzędne $B$

Często zadawane pytania

Jak obliczyć odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych?

Podstaw współrzędne do wzoru

\lvert AB \rvert = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

. To ta sama idea co twierdzenie Pitagorasa — różnice współrzędnych to przyprostokątne, a odcinek to przeciwprostokątna.

Czy wzór na środek odcinka jest na karcie wzorów?

Nie zawsze możesz na to liczyć, dlatego warto znać go na pamięć — to zwykła średnia arytmetyczna współrzędnych końców. Jest krótki i łatwy do zapamiętania.

Co, gdy pierwiastek nie jest liczbą całkowitą?

Zostaw wynik w postaci pierwiastka, np.

\sqrt{13}

, chyba że zadanie prosi o przybliżenie. Wynik

\sqrt{13}

jest poprawną, dokładną odpowiedzią.

Podsumowanie

Długość odcinka liczysz z twierdzenia Pitagorasa: pierwiastek z sumy kwadratów różnic współrzędnych
Środek odcinka to średnia arytmetyczna współrzędnych końców — osobno dla $x$ , osobno dla $y$
Znając środek i jeden koniec, wyznaczysz drugi koniec z równania
Wzory służą do obwodów, sprawdzania równoramienności i przekątnych figur
Uważaj na odejmowanie liczb ujemnych i na format odpowiedzi (liczba vs para współrzędnych)