Matematyka

Symetria osiowa i środkowa w układzie współrzędnych – zadania E8

Zespół TestStudio·25 czerwca 2026·7 min czytania

P = πr²

L = 2πr

Matematyka

Symetria osiowa i środkowa — wzory na obraz punktu względem osi Ox, Oy, prostej x=a, y=b i punktu. Przykłady i zadania E8.

Wzory

i definicje

Przykłady

krok po kroku

Zadania

egzaminacyjne

Symetria osiowa względem osi Ox zamienia punkt A(x, y) na A'(x, −y) — zmienia się tylko znak y; symetria środkowa względem O(0,0) zamienia A(x, y) na A'(−x, −y) — zmieniają się oba znaki. Naucz się czterech prostych wzorów i sprawdzaj każdy wynik rysunkiem.

Symetria osiowa względem osi Ox

Oś $Ox$ to pozioma oś układu (oś $x$ ). Symetria względem $Ox$ zachowuje odległość punktu od osi, ale zmienia stronę — czyli odwraca współrzędną $y$ na przeciwną.

A(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } Ox} A'(x, -y)

Przykład: $A(3, 5) \to A'(3, -5)$

Sprawdzenie: punkt $A$ jest 5 jednostek powyżej osi $Ox$ , a $A'$ jest 5 jednostek poniżej — odległości do $Ox$ są równe ✓.

Symetria osiowa względem osi Oy

Oś $Oy$ to pionowa oś układu (oś $y$ ). Symetria względem $Oy$ odwraca współrzędną $x$ , zachowując $y$ .

A(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } Oy} A'(-x, y)

Przykład: $B(-2, 4) \to B'(2, 4)$

Sprawdzenie: $B$ jest 2 jednostki na lewo od $Oy$ , a $B'$ — 2 jednostki na prawo ✓.

Symetria osiowa względem prostej $x = a$

Prosta $x = a$ jest pionowa. Symetria względem niej odbija współrzędną $x$ , zachowując $y$ :

A(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } x=a} A'(2a - x, y)

Skąd wzór? Punkt $A$ i jego obraz $A'$ są w równej odległości od prostej $x = a$ . Środek odcinka $AA'$ musi leżeć na prostej $x = a$ , więc $\frac{x + x'}{2} = a$ , stąd $x' = 2a - x$ .

Przykład: $C(1, 3)$ , oś symetrii: $x = 4$

x' = 2 \cdot 4 - 1 = 7 \quad \Rightarrow \quad C'(7, 3)

Sprawdzenie: $C$ jest 3 jednostki na lewo od $x=4$ , a $C'$ jest 3 jednostki na prawo: $4-1=3$ i $7-4=3$ ✓.

Symetria osiowa względem prostej $y = b$

Prosta $y = b$ jest pozioma. Symetria względem niej odbija współrzędną $y$ , zachowując $x$ :

A(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } y=b} A'(x, 2b - y)

Przykład: $D(5, -1)$ , oś symetrii: $y = 2$

y' = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad D'(5, 5)

Sprawdzenie: $D$ jest 3 jednostki poniżej $y=2$ (bo $2-(-1)=3$ ), $D'$ jest 3 jednostki powyżej ( $5-2=3$ ) ✓.

Symetria osiowa i środkowa – wzory i kluczowe różnice

W symetrii środkowej punkt $S$ jest środkiem odcinka $AA'$ . Ze wzoru na środek odcinka:

A(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } S(a,b)} A'(2a - x, 2b - y)

Szczególny przypadek — symetria względem początku układu $O(0, 0)$ :

A(x, y) \xrightarrow{\text{sym. } O} A'(-x, -y)

Przykład 1: $E(3, -2)$ , środek symetrii: $S(0, 0)$

E' = (-3, 2)

Przykład 2: $F(1, 4)$ , środek symetrii: $S(3, 1)$

x' = 2 \cdot 3 - 1 = 5, \quad y' = 2 \cdot 1 - 4 = -2 \quad \Rightarrow \quad F'(5, -2)

Sprawdzenie środka: $\left(\frac{1+5}{2}, \frac{4+(-2)}{2}\right) = (3, 1) = S$ ✓.

Tabela wzorów — do zapamiętania

Symetria względem	Wzór obrazu
Osi $Ox$	$A(x,y) \to A'(x, -y)$
Osi $Oy$	$A(x,y) \to A'(-x, y)$
Prostej $x = a$	$A(x,y) \to A'(2a-x, y)$
Prostej $y = b$	$A(x,y) \to A'(x, 2b-y)$
Punktu $S(a,b)$	$A(x,y) \to A'(2a-x, 2b-y)$
Początku układu $O$	$A(x,y) \to A'(-x, -y)$

W TestStudio możesz ćwiczyć symetrię z rysunkiem układu — po każdym zadaniu widzisz, czy obraz wylądował po właściwej stronie osi.

Najczęstsze błędy

Odwracanie złej współrzędnej — symetria względem $Ox$ zmienia $y$ , nie $x$ ; symetria względem $Oy$ zmienia $x$ , nie $y$
Zapomnienie o formule $2a - x$ dla prostej $x = a$ — nie wystarczy zmienić znak $x$ ; pamiętaj, że symetria względem $Oy$ to szczególny przypadek z $a = 0$ : $2 \cdot 0 - x = -x$ ✓
Mylenie symetrii osiowej z środkową — symetria środkowa zmienia obie współrzędne, osiowa — jedną
Brak sprawdzenia — zawsze oblicz odległość punktu i jego obrazu od osi/punktu; muszą być równe

📌Zapamiętaj

✓Symetria względem $Ox$ : odwróć $y$ → $A(x,y) \to A'(x,-y)$
✓Symetria względem $Oy$ : odwróć $x$ → $A(x,y) \to A'(-x,y)$
✓Symetria środkowa względem $S(a,b)$ : $A' = (2a-x,\ 2b-y)$ ; środek odcinka $AA' = S$

💡

Pro tip: Przed wpisaniem wyniku narysuj oś lub punkt symetrii i zaznacz obraz — przy symetrii osiowej musi leżeć po drugiej stronie osi w tej samej odległości, co sprawdzasz wizualnie bez obliczeń.

Gotowy sprawdzić to w praktyce?

Testy CKE z wyjaśnieniami, analiza AI i śledzenie postępów — wszystko za darmo przez 7 dni.

Zacznij za darmo Zobacz cennik

Sprawdź się

Zadanie: Punkt $G(2, -3)$ . Wyznacz obraz w symetrii osiowej względem prostej $y = 1$ .

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

💡Pokaż odpowiedź+

Odpowiedź: $y' = 2 \cdot 1 - (-3) = 2 + 3 = 5$ . Obraz: $G'(2, 5)$ . Sprawdzenie: $G$ jest 4 jednostki poniżej $y=1$ (bo $1-(-3)=4$ ), $G'$ jest 4 jednostki powyżej ( $5-1=4$ ) ✓.

🧠 Sprawdź wiedzę

1.Obraz punktu $A(3, 5)$ w symetrii względem osi $Ox$ to

2.Obraz punktu $B(-2, 4)$ w symetrii względem prostej $x = 1$ to

3.Obraz punktu $C(1, 4)$ w symetrii środkowej względem $S(3, 1)$ to

Często zadawane pytania

Jaka jest różnica między symetrią osiową a środkową?

W symetrii osiowej oś symetrii to prosta — punkt i jego obraz leżą po przeciwnych stronach tej prostej w równej odległości, a odcinek $AA'$ jest prostopadły do osi. W symetrii środkowej centrum to punkt $S$ — punkt $A$ , środek $S$ i obraz $A'$ leżą na jednej prostej, a $S$ jest środkiem odcinka $AA'$ .