Cechy podzielności liczb (przez 3, 4, 9) – powtórka

Cechy podzielności pozwalają stwierdzić, czy liczba dzieli się przez daną liczbę bez reszty, bez wykonywania dzielenia. Wystarczy prosty trik z cyframi: przy 3 i 9 liczysz ich sumę, a przy 4 zerkasz tylko na dwie ostatnie cyfry. Na Egzaminie Ósmoklasisty zadania z cechami podzielności pojawiają się przy skracaniu ułamków, rozkładzie na czynniki i w zadaniach z uzupełnianiem brakującej cyfry.

Cechy podzielności – zadania i reguły podzielności przez 3, 4 i 9

Cecha podzielności to prosta reguła, która na podstawie cyfr liczby mówi, czy dzieli się ona przez inną liczbę bez reszty (wg Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej — ZPE). Trzy najważniejsze na E8:

Ważne: każda liczba podzielna przez 9 jest automatycznie podzielna przez 3 (bo jeśli suma cyfr dzieli się przez 9, to dzieli się też przez 3) — ale odwrotnie już nie.

Jak sprawdzić podzielność przez 3 i przez 9?

Obie cechy działają tak samo — liczysz sumę cyfr:

1. 1
   Dodaj do siebie wszystkie cyfry liczby.
2. 2
   Sprawdź, czy ta suma dzieli się przez 3 (albo przez 9).
3. 3
   Jeśli tak — cała liczba też się dzieli.

Przykład: Czy $5571$ dzieli się przez 9?

$18$ dzieli się przez $9$, więc $5571$ dzieli się przez $9$ (a tym samym przez $3$).

Przykład: Czy $944$ dzieli się przez 9?

$17$ nie dzieli się przez $9$, więc $944$ nie jest podzielna przez $9$.

Jak sprawdzić podzielność przez 4?

Tu nie liczysz sumy cyfr — patrzysz tylko na dwie ostatnie cyfry:

1. 1
   Zasłoń wszystkie cyfry oprócz dwóch ostatnich.
2. 2
   Sprawdź, czy powstała liczba dwucyfrowa dzieli się przez 4.

Przykład: Czy $7324$ dzieli się przez 4? Ostatnie dwie cyfry to $24$, a $24 : 4 = 6$ — więc TAK. Czy $5310$ dzieli się przez 4? Ostatnie dwie to $10$, a $10$ nie dzieli się przez 4 — więc NIE.

Szybkie triki na E8

Nie musisz dodawać wszystkiego. Przy podzielności przez 3 możesz pominąć cyfry, które same dzielą się przez 3 (czyli 0, 3, 6, 9), a przy podzielności przez 9 — pomijasz 9.

• Liczba $906\,300\,669$ jest podzielna przez 3 „na oko" — ma wyłącznie cyfry $0, 3, 6, 9$.
• W liczbie $4\,593$ przy sprawdzaniu podzielności przez 3 skreślasz $9$ i $3$, zostaje $4+5=9$ — dzieli się przez 3.

Uzupełnianie brakującej cyfry

To jeden z częstych typów zadań egzaminacyjnych. Masz liczbę z „okienkiem" i szukasz cyfry, która da podzielność.

Przykład: Jaką cyfrę wstawić w miejsce $\square$, żeby liczba $2\square4$ była podzielna przez 3?

1. 1
   Suma znanych cyfr: $2 + 4 = 6$.
2. 2
   Cała suma to $6 + \square$ i musi dzielić się przez 3.
3. 3
   $\square$ może być $0, 3, 6$ lub $9$ (bo $6, 9, 12, 15$ dzielą się przez 3).

Najczęstsze błędy

• Mylenie cechy dla 4 z cechą dla 3 — dla 4 nie dodajesz cyfr, patrzysz na końcówkę.
• Zapominanie, że 0 jest podzielne przez każdą liczbę (oprócz zera) — końcówka $00$ oznacza podzielność przez 4.
• Uznawanie, że liczba podzielna przez 3 jest podzielna przez 9 — to działa tylko w drugą stronę.

Sprawdź się

Zadanie otwarte 1

Sprawdź, czy liczba $3\,924$ jest podzielna przez 3, przez 4 i przez 9.

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

W TestStudio znajdziesz zestawy zadań na cechy podzielności w typie CKE — z uzupełnianiem cyfr i natychmiastowym sprawdzeniem odpowiedzi.

Podsumowanie

• Podzielność przez 3 i przez 9 sprawdzasz za pomocą sumy cyfr liczby
• Podzielność przez 4 zależy tylko od dwóch ostatnich cyfr
• Liczba podzielna przez 9 jest zawsze podzielna przez 3 — nie na odwrót
• W zadaniach z brakującą cyfrą układasz warunek na sumę cyfr i dobierasz pasujące cyfry
• Triki: pomijaj cyfry 0, 3, 6, 9 przy sprawdzaniu podzielności przez 3