Matematyka

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku — zasady i zadania

Zespół TestStudio·1 kwietnia 2026·6 min czytania

P = πr²

L = 2πr

Matematyka

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku — poznaj wzory działań na potęgach, unikaj typowych błędów i trenuj na przykładach z arkuszy E8.

Wzory

i definicje

Przykłady

krok po kroku

Zadania

egzaminacyjne

Mnożenie potęg o tym samym wykładniku rządzi się wzorem $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ — gdy wykładniki są równe, wystarczy pomnożyć podstawy i zachować wspólny wykładnik. To jedna z reguł działań na potęgach najczęściej sprawdzanych na Egzaminie Ósmoklasisty, dlatego warto ją odróżniać od wzoru na mnożenie potęg o tej samej podstawie. Poniżej znajdziesz oba zestawy wzorów razem z konkretnymi przykładami.

Przegląd wzorów na działania z potęgami

Zanim przejdziemy do mnożenia z tym samym wykładnikiem, warto mieć wszystkie wzory w jednym miejscu:

Działanie	Wzór	Przykład
Mnożenie — ta sama podstawa	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
Dzielenie — ta sama podstawa	$a^m : a^n = a^{m-n}$	$5^6 : 5^2 = 5^4$
Potęgowanie potęgi	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(3^2)^4 = 3^8$
Mnożenie — ten sam wykładnik	$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$	$2^3 \cdot 5^3 = 10^3$
Dzielenie — ten sam wykładnik	$a^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n$	$6^4 : 2^4 = 3^4$
Potęga zera	$a^0 = 1$ ( $a \neq 0$ )	$100^0 = 1$
Wykładnik ujemny	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	$2^{-3} = \frac{1}{8}$

Mnożenie i dzielenie potęg o tym samym wykładniku

To wzory, które pozwalają "złączyć" podstawy, gdy wykładnik jest ten sam:

a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n

a^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n

Dlaczego to działa? Potęga $a^n$ to $n$ razy pomnożone $a$ . Jeśli mnożymy $a^n \cdot b^n$ , otrzymujemy naprzemienne $a$ -ki i $b$ -iki, które możemy grupować parami $a \cdot b$ :

a^n \cdot b^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdots b}_{n} = \underbrace{(a \cdot b)(a \cdot b) \cdots (a \cdot b)}_{n} = (ab)^n

Przykłady krok po kroku

Przykład 1 — upraszczanie iloczynu

Uprość: $3^5 \cdot 2^5$

3^5 \cdot 2^5 = (3 \cdot 2)^5 = 6^5

Przykład 2 — upraszczanie ilorazu

Uprość: $\frac{15^4}{5^4}$

\frac{15^4}{5^4} = \left(\frac{15}{5}\right)^4 = 3^4 = 81

Przykład 3 — obliczanie wartości liczbowej

Oblicz: $4^3 \cdot 25^3$

4^3 \cdot 25^3 = (4 \cdot 25)^3 = 100^3 = 1\,000\,000

Przykład 4 — kombinacja wzorów

Uprość: $(2a)^3 \cdot (3b)^3$

\left(2a\right)^3 \cdot \left(3b\right)^3 = (2a \cdot 3b)^3 = (6ab)^3

Częsta pułapka — ta sama podstawa kontra ten sam wykładnik

Ważne: To są dwa różne wzory i stosuje się je w różnych sytuacjach:

$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$ — ta sama podstawa (2), różne wykładniki → dodajesz wykładniki
$2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3$ — te same wykładniki (3), różne podstawy → mnożysz podstawy

Nie wolno mieszać tych reguł. Wzór $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ działa tylko gdy podstawy są te same. Wzór $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ działa tylko gdy wykładniki są te same.

Zastosowanie w notacji wykładniczej

Wzory na ten sam wykładnik są szczególnie przydatne przy potęgach liczby 10:

(2 \times 10^3) \times (5 \times 10^4) = (2 \times 5) \times (10^3 \times 10^4) = 10 \times 10^7 = 1 \times 10^8

Gdy wynik $a \geq 10$ , przenoś jedną dziesiątkę do wykładnika.

W TestStudio możesz ćwiczyć działania na potęgach krok po kroku, z podpowiedzią który wzór zastosować w każdym punkcie.

📌Zapamiętaj

✓Ta sama podstawa, różne wykładniki: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — dodajesz wykładniki
✓Ten sam wykładnik, różne podstawy: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ — mnożysz podstawy
✓Dzielenie potęg o tej samej podstawie: $a^m \div a^n = a^{m-n}$ — odejmujesz wykładniki

💡

Pro tip: Zanim zastosujesz wzór, sprawdź co jest „takie samo" — podstawa czy wykładnik. Jeśli podstawy są różne a wykładniki różne, żaden uproszczony wzór nie zadziała.

Gotowy sprawdzić to w praktyce?

Testy CKE z wyjaśnieniami, analiza AI i śledzenie postępów — wszystko za darmo przez 7 dni.

Zacznij za darmo Zobacz cennik

Sprawdź się

Zadanie: Oblicz wartość: $\frac{6^5}{2^5}$

(Spróbuj samodzielnie przed sprawdzeniem odpowiedzi.)

💡Pokaż odpowiedź+

Odpowiedź: $\frac{6^5}{2^5} = \left(\frac{6}{2}\right)^5 = 3^5 = 243$ .

🧠 Sprawdź wiedzę

1. $3^4 \cdot 3^2$ wynosi

2. $5^3 \cdot 2^3$ wynosi

3. $\dfrac{12^4}{4^4}$ wynosi

Często zadawane pytania

Czy wzory na potęgi obowiązują dla wykładnika 0?

Tak. $a^0 = 1$ dla $a \neq 0$ to odrębna definicja. Wynika z wzoru $a^m : a^m = a^{m-m} = a^0 = 1$ (dane CKE).

Jak działa wykładnik ujemny?

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Np. $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$ . Na E8 wykładniki ujemne pojawiają się w zadaniach z notacją wykładniczą dla małych liczb.

Czy $(−a)^n = −a^n$ ?

Nie. $(-a)^n$ to potęga liczby ujemnej — wynik zależy od parzystości $n$ : $(-2)^3 = -8$ , $(-2)^4 = 16$ . Natomiast $-a^n = -(a^n)$ — to minus stojący przed potęgą.

Podsumowanie

Ta sama podstawa, różne wykładniki: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ; $a^m : a^n = a^{m-n}$
Ten sam wykładnik, różne podstawy: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ ; $a^n : b^n = (a/b)^n$
Potęga potęgi: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$a^0 = 1$ (dla $a \neq 0$ ); $a^{-n} = 1/a^n$
Nie mieszaj reguł: sprawdź najpierw, czy podstawy czy wykładniki są takie same